নিম্নের নির্ণায়কের $(-2a)$ এর সহগুনক কত? $\left[\begin{array}{ccc}1+a^{2-}{b}^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^{2+}{b}^2& 2a\\ 2b& -2a& 1-a^{2-}{b}^2\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয়ের জন্য অনুরাশি (Minor) ও সহগুণক (Cofactor) গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। অনুরাশি ও সহগুণক ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলোর উপর ভিত্তি করে নির্ণায়ক নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।

নিচে অনুরাশি ও সহগুণকের সংজ্ঞা এবং তাদের ব্যবহারের পদ্ধতি বর্ণনা করা হলো:

অনুরাশি (Minor)

কোনো \(n \times n\) ম্যাট্রিক্সের একটি নির্দিষ্ট উপাদানের অনুরাশি বলতে বোঝায় ওই উপাদানটি বাদ দিলে বাকি উপাদানগুলো দিয়ে গঠিত \( (n-1) \times (n-1) \) আকারের ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক।

উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্স \(A\) রয়েছে:

\[
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
\]

এখন, \(a_{11}\) এর অনুরাশি বের করতে হলে প্রথম সারি ও প্রথম কলাম বাদ দিয়ে \( (n-1) \times (n-1) \) ম্যাট্রিক্সটি নিতে হবে, অর্থাৎ:

\[
\text{Minor of } a_{11} = M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
\]

এভাবে প্রতিটি উপাদানের জন্য তার অনুরাশি নির্ণয় করা যায়।

সহগুণক (Cofactor)

সহগুণক হলো কোনো নির্দিষ্ট উপাদানের অনুরাশির সাথে একটি চিহ্ন সংযুক্ত মান। একটি \(a_{ij}\) উপাদানের সহগুণক \(C_{ij}\) নির্ণয় করা হয় এভাবে:

\[
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
\]

এখানে \(M_{ij}\) হলো \(a_{ij}\) উপাদানের অনুরাশি এবং \((-1)^{i+j}\) চিহ্ন নির্ধারণ করে। যদি \(i + j\) জোড় সংখ্যা হয় তবে এটি ধনাত্মক থাকে, আর যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে এটি ঋণাত্মক হয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি \(a_{11}\)-এর অনুরাশি \(M_{11}\) হয়, তবে সহগুণক \(C_{11}\) হবে:

\[
C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = 1 \cdot M_{11} = M_{11}
\]

আর \(a_{12}\)-এর জন্য,

\[
C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -M_{12}
\]

উদাহরণ

ধরা যাক, একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্স \(A\) রয়েছে:

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\]

আমরা \(a_{11}\), \(a_{12}\), এবং \(a_{13}\)-এর জন্য অনুরাশি ও সহগুণক নির্ণয় করব।

1. \(a_{11}\)-এর জন্য:
   • অনুরাশি, \(M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) = 45 - 48 = -3\)
   • সহগুণক, \(C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = 1 \cdot (-3) = -3\)
2. \(a_{12}\)-এর জন্য:
   • অনুরাশি, \(M_{12} = \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = 36 - 42 = -6\)
   • সহগুণক, \(C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -(-6) = 6\)
3. \(a_{13}\)-এর জন্য:
   • অনুরাশি, \(M_{13} = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 32 - 35 = -3\)
   • সহগুণক, \(C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot M_{13} = -3\)

নির্ণায়ক নির্ণয়ে অনুরাশি ও সহগুণকের ব্যবহার

একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বের করতে হলে প্রথম সারির উপাদানগুলো এবং তাদের সহগুণক ব্যবহার করা হয়:

\[
|A| = a_{11} \cdot C_{11} + a_{12} \cdot C_{12} + a_{13} \cdot C_{13}
\]

উপরের উদাহরণ অনুযায়ী,

\[
|A| = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 6 + 1 \cdot (-3)
\]

\[
= -6 + 18 - 3 = 9
\]

এভাবেই অনুরাশি ও সহগুণক ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয় করা যায়।